Fracciones sorprendentes
(TOMADO DE LA PAG. WEB http://culturacientifica.com/2015/05/06/fracciones-sorprendentes/)
En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica vamos a hablar de… fracciones.
Se atribuye al escritor ruso León Tolstoi (1828-1910), autor de las novelas realistasGuerra y Paz y Ana Karenina, la siguiente cita:
“Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción”
También nos encontramos con fracciones, pero dos concretas y con una sorprendente propiedad, en la obra El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Premio Nobel de Literatura, Mario Vargas Llosa (Editorial Alfaguara, 2003):
“Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras monsieur Lagrange la presentaba Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un tercio obreros”
Como se observa 3/4 de los asistentes eran patrones y 1/3 eran obreros, pero si sumamos ambas cantidades nos da 3/4 + 1/3 = 13/12, que es mayor que uno. Lo cual es imposible, puesto que la suma de las partes no puede ser mayor que el total, es decir, que 1, pero en el caso de la novela de Vargas Llosa, sale 13/12 que es mayor que 1 = 12/12.
Un divertido diálogo en la misma línea del texto anterior lo encontramos en el extracto de la obra teatral del escritor y cineasta francés Marcel Pagnol (1895-1974), que mi colega Marta Macho nos acercó en su entrada de Matemoción, El tamaño de los tercios.
Dos personajes de la obra, que se encuentran en un bar, conversan sobre como se prepara un cierto cóctel:
“CÉSAR: […] Pues bien, por décima vez, te voy a explicar el Amer Picón-limón-curaçao. (Se instala tras el mostrador.) ¡Acércate! (Marius se aproxima para seguir de cerca la operación. César coge un vaso grande, una jarra y tres botellas. Mientras habla, prepara el brebaje.) Pones primero un tercio de curaçao. Pero ten cuidado: un tercio pequeñito. Bueno. Ahora,un tercio de limón. Un poco más grande. Bueno. Después, un BUEN terciode Amer Picón. Mira el color. Fíjate qué bonito es. Y al final, un GRAN tercio de agua. Ya está.MARIUS: Y eso hace cuatro tercios.CÉSAR: Exactamente. Espero que esta vez hayas entendido. (Toma un trago de la mezcla).MARIUS: En un vaso, no hay más que tres tercios.CÉSAR: Pero, imbécil, ¡eso depende del tamaño de los tercios!”
Pero, dejemos la literatura a un lado, y adentrémonos en algunas llamativas fracciones. Dada una fracción cualquiera, esto es, un número racional, podemos realizar la división y obtener el desarrollo decimal asociado a la misma. Recordemos que el desarrollo decimal de un número racional tiene un número finito de decimales, o si es infinito, entonces existe un período finito que se repite.
Los primeros ejemplos que vamos a mostrar, son fracciones cuyos desarrollos decimales son curiosos.
10/81 = 0,12345678901234567890…100/891 = 0,112233445566778899001122…1000/8991 = 0,111222333444555666777888999000…
Y así se pueden continuar los ejemplos, si le vamos añadiendo 0 en el numerador y 9 en el denominador.
Otra expresión decimal curiosa de una fracción es la siguiente:
100/9801 =0,010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979900…
que tiene un período de 198 dígitos, es decir, los 198 decimales que se ven se van repitiendo hasta el infinito. Además, observemos que falta el “98” en la sucesión de números dentro del período de los decimales. Y también puede llevarse más allá esta fracción, si ahora dividimos 1000 entre 998001.
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